3. Ongetempereerde stemmingen
3.1 Stemming volgens Pythagoras
Pythagoras (ong. 580- ong. 505 v. Chr) had niet de bedoeling een nieuwe stemming te ontwerpen. Hij berekende slechts de stemming die algemeen in de klassieke Oudheid werd toegepast. Hij gebruikte een monochord (een instrument met 1 snaar, waarop een verstelbare kam was geplaatst) en ontdekte de verhoudingen die voor de Pythagoreische stemming het uitgangspunt vormden, n.l. 2:1 voor een toon en zijn octaaf en 3:2 voor een toon en zijn reine kwint.

Voorbeeld van de werkwijze van Pythagoras:
Door de kam van het monochord op 1/3 van de snaar te plaatsen, was het snaardeel aan de ene kant juist 2x zo lang als dat aan de andere kant. Hij nam waar dat de toon van het kortste deel het octaaf was van de toon van het langste deel (1:2). Om de verhouding 3:2 te krijgen plaatste hij de kam op 2/5 van de snaar. Het snaardeel gaf nu de reine kwint van het langste snaardeel.

Met deze beide verhoudingen (2:1 en 3:2) berekende Pythagoras de overige intervallen. Om weer op de begintoon uit te komen wordt de 'kwint' gis-es te

pythagoras_1 (5K) pythagoras_2 (1K)

klein gestemd: men noemt deze de wolfskwint, een kwint die te onzuiver is om te gebruiken (-24 cents).

Voorbeeld
c  : g=2 :3=8 :  12
 d: g= 3 : 4 = 9 : 12
c : d  =8 : 9

Berekening via 'centen'-methode: zie 2.2.

Wat is het resultaat van Pythagoras' stemming? Alle octaven, kwinten en kwarten zijn zuiver en alle sexten en tertsen zijn onzuiver.

Een voorbeeld van muziek op een clavichord met Pythagoras' stemming.

cd (1K)klik hier

3.2 Ongetempereerde stemmingen (1500-1600)
De stemming van Pythagoras voldoet prima bij eenstemmige muziek en bij de middeleeuwse meerstemmigheid, waarin slechts octaaf en kwint als consonanten optreden. Wanneer er tijdens de Renaissance een sterke behoefte begint te ontstaan aan zuivere tertsen, blijkt de pythagoreische stemming niet meer te voldoen. De italiaanse muziektheoreticus G. Zarlino (1517-1590) stelde een 'reine' stemming vast, waarin hij de volgende verhoudingen voor octaaf, kwint, kwart, grote terts en kleine terts gebruikte: 1:2, 2:3, 3:4, 4:5 en 5:6. Met deze vijf verhoudingen berekende Zarlino de overige intervallen. De grote secunde vond Zarlino op dezelfde manier als Pythagoras (8:9). Omdat voor een grote terts de verhouding 4:5 gold kon je de secunde ook berekenen als het verschil tussen grote terts en grote secunde, wat rekenkundig neerkomt op het quotiënt van hun trillingsgetalverhoudingen: (4:5) : (8:9)= 9:10. Zo kwam Zarlino op twee soorten hele tonen (zie ook paragraaf 2.1): de grote hele secunde (8:9) en de kleine hele secunde (9:10).

Voorbeeld
In de toonladder van C-groot waren c-d, f-g en a-b grote hele tonen en d-e en g-a kleine. Het zal duidelijk zijn dat deze stemming op een toetsinstrument grote bezwaren met zich meebracht, omdat de verschillende hele tonen bij transpositie van toonladders voortdurend zouden moeten worden gewijzigd.

Rekenen met verhoudingsgetallen
De berekening in het laatste voorbeeld op p. 10 is dus ook anders uit te voeren: reine kwint - reine kwart = (2:3) : (3:4) = (2:3) x (4:3) = 8:9. Intervallen optellen correspondeert dan met het vermenigvuldigen van de verhoudingsgetallen van de intervallen. Voorbeeld: reine kwint + reine kwint = grote none ->(2:3) x (2:3) = 4:9 De duitse organist en componist Arnold Schlick (ca. 1460-ca. 1521) heeft in zijn Spiegel der Orgelmacher und Organisten (1511) zijn methode om het orgel te stemmen uiteengezet. Schlick vond het van het grootste belang de meest voorkomende tertsen iets zuiverder te stemmen ten koste van de kwinten. Ook behandelt hij de dubbele functie van es/dis en gis/as en wijst op de praktijk 'te harde' samenklanken met loopjes, versieringen en dergelijke te omspelen.

3.3 Middentoonstemming (1600-1680)
De middentoonstemming, die in 1532 al door Pietro Aaron werd beschreven, kiest voor de zuivere terts. De vier op elkaar gestapelde kwinten (zie paragraaf 2.1 en 2.2) worden allemaal ¼ syntonisch komma te klein gestemd. Of anders gezegd: de vier kwinten moeten totaal 22 cents corrigeren, dus elke kwint is 5.5 cents te klein ofwel -5.5 cents te groot. Evenwel kunnen niet alle 12 kwinten ¼ komma te klein gestemd worden, omdat de opstapeling van 12 kwinten tot 'komma'-problemen zal leiden. Om weer op de begintoon uit te komen wordt 1 kwint gecorrigeerd: men deze zogenaamde 'wolfskwint' gis-es te groot (36.5 cents). Immers: (11 x -5.5) = -60.5 + 36.5 = -24 cents.

middentoon (10K)

De middentoonstemming ontleent haar naam aan het feit dat de grote terts anders dan bij de reine stemming uit twee secunden bestaat die precies even groot zijn.
Een paar resultaten van de middentoonstemming:

  • In de middentoonstemming kan niet worden geenharmoniseerd: de gis kan men dus niet gebruiken als een as. De volgende drieklanken kan men gebruiken: c-e-g, g-b-d, d-fis-a, a-cis-e, e-gis-b, f-a-c, bes-d-f en es-g-bes. Deze grote drieklanken hebben nu een zuivere grote terts en een te kleine kwint.
  • Onmogelijk daarentegen zijn de grote drieklanken op gis, cis, fis en b. Iets dergelijks geldt ook voor kleine drieklanken, waarbij moet worden gezegd dat de kleine drieklank een bijzondere charme heeft dank zij de zuiverheid van de grote terts.
  • Praktisch gesproken betekent dit dat in de middentoonstemming de modulatiemogelijkheden gering zijn: 8 toonaarden zijn slechts te gebruiken.
De wolfskwint wordt gewoonlijk geplaatst tussen Gis en Es, maar kan natuurlijk elders gelegd worden, afhankelijk van de muziek die je speelt (op een clavecimbel kun je gemakkelijk omstemmen).

anglebert (9K)

De verminderde kwart Fis-Bes (enharmonisch gelijk aan een grote terts) is een wolf in de middentoonstemming wanneer je deze wilt gebruiken als een terts. Toch is deze wolf te gebruiken in versieringen zoals de tremblement appuyé op A in de laatste maten van een Sarabande van d'Anglebert (zie notenvoorbeeld hierboven uit suite 2 in g-klein). Natuurlijk zal zo'n versiering anders klinken dan op onze huidige piano.
Het carillon van de Dom te Utrecht heeft een middentoonstemming.

Twee uitstapjes

  1. Zou er een verschillen zijn tussen onze tritonus op onze piano en de tritonus in de middentoonstemming? Laten we eens de grootte van de tritonus F-B berekenen. Je vindt de tritonus door 6 kwinten op elkaar te stapelen. Zouden deze kwinten zuiver zijn dan was de tritonus 6 × 702 cents groot. Echter elke kwint is 5.5 cents te klein, wat betekent dat de grootte in werkelijkheid is 6 × (702 - 5.5) = 4179 cents. Trekken we daarvan drie octaven af (om de grootte van de tritonus binnen een octaaf te berekenen), dan krijgen we 4179 - 3600 = 579 cents. Dit is bijna de grootte van een reine tritonus waarvan de grootte 583 cents is. De tritonus op onze piano is 600 cents. Dat is een hoorbaar verschil.
  2. In de phrygische modus was er in de cadens niet zelden behoefte aan een dis als leidtoon voor e. Dit probleem werd door orgelbouwers opgelost door de toets in lengterichting te delen: de ene helft correspondeert dan met een zuivere es en de andere helft met een zuivere dis. Soms koos men voor een andere oplossing: men stemde de toon tussen es en dis in.

Een voorbeeld van muziek op een instrument met middentoonstemming.

cd (1K)klik hier

3.4 Variant middentoonstemming: Silbermann
Zoals we gezien hebben in de middentoonstemming 11 kwinten dezelfde (te kleine) omvang: -5.5 cents. Er zijn tal van varianten op dit thema te noemen. Een opmerkelijke variant, die vaak bij barokke orgels wordt aangetroffen is de Silbermann-stemming, waarbij de kwinten 1/6 komma te klein zijn (ongeveer 4 cents), dus minder klein dan bij de middentoonstemming. Dat betekent dat de vaak gebruikte grote tertsen ongeveer 7 cents te groot zijn en de vaak gebruikte kleine tertsen ongeveer 11 cents te klein en de wolven wat acceptabeler klinken.

Bach schreef aan het begin van de 18e eeuw zijn 15 Inventiones en zijn 15 Sinfoniae in 15 verschillende toonaarden. Vermoedelijk was dat mogelijk vanwege de Silbermann-stemming.

Vorige | Volgende